Analisi di alcuni problemi evolutivi nonlineari : esistenza delle soluzioni e risoluzione numerica

Oggetto della tesi sono le soluzioni di problemi evolutivi non lineari. Il motivo principale è lo studio di un problema in domini adiacenti accoppiato con condizioni di raccordo-accoppiamento nonlineari sull'interfaccia, proveniente da una applicazione biomedica. La tesi consiste in tre capitoli preceduti da una introduzione che chiarisce i modelli a cui si possono applicare gli studi fatti e seguiti da una sezione in cui riportiamo le simulazioni effettuate ed i relativi codici utilizzati. Nel primo capitolo consideriamo problemi parabolici con nonlinearità al bordo e semilineari. In tesi introduciamo, per questi problemi, i risultati noti per l'esitenza di soluzioni in senso forte. In particolare ci concentriamo sulle tecniche che, facendo uso del teorema del massimo e del lemma di Hopf, garantiscono l'applicabilità del teorema di punto fisso di Schauder. Quello che si può notare è che il problema può condurre ad esplosione in tempo finito, comportamento noto con il termine di blow up. Notiamo che sia l'analisi del comportamento delle soluzioni che l'approssimazione numerica di tali problemi è attualmente oggetto di ricerca. Per questo è dedicato, nella tesi, ampio spazio ad una rivisitazione della letteratura su questo argomento. Nel secondo capitolo ci concentriamo all'analisi di problemi alle derivate parziali di tipo parabolico in due domini adiacenti con condizioni di raccordo nonlineari sull'interfaccia che separa i due insiemi. Un'altra classe di equazioni con nonlinearità di tipo sorgente è studiata nell'ultimo capitolo della tesi. Si tratta di problemi integrali nonlineari legati a problemi parabolici monodimensianali con condizioni di flusso nonlineari o con sorgenti puntuali nonlineari. In questo riassunto prenderemo in considerazione, per motivi di brevità, solo risultati che riguardano il problema accoppiato. Vedremo il modello da cui deriva questa formulazione e una parte dell'analisi condotta per studiare le soluzioni di questo problema. Il modello fisico L'interesse per questo tipo di problemi nasce, come detto, da una applicazione in ambito biomedico. In particolare, si vuole simulare il processo di scambio di sostanze disciolte nel sangue con la parete vascolare. Il modello matematico introdotto per studiare tale applicazione consiste in un sistema di equazioni con gli operatori interni di diffusione-trasporto e di bordo di tipo Robin. Le funzione incognite rappresentano le concentrazioni di una specie chimica, rispettivamente, nella parete vascolare e nell'interno del condotto vascolare. I campi di velocità sono le soluzioni del problema fluidodinamico nei due domini, supposti noti e non influenzati dalle concentrazioni. La prima richiesta che abbiamo imposto è che non ci sia produzione di concentrazione all'interno dei due domini e che questi fossero isolati rispetto all'esterno. Per questo ci siamo trovati delle condizioni sui campi di velocità e sulle funzioni che regolano il flusso sulla membrana. La membrana è supposta selettiva semipermeabile, secondo il modello di Kedem-Katchalsky. Questo modello prevede che la derivata normale della concentrazione attravesto la membrana sia bilanciata dalla somma di quattro elementi: (i) Effetto di trasporto dovuto al campo di velocità. (ii) Effetto di diffusione dovuto al salto di concentrazioni. (iii) Effetto di trasporto dovuto al salto di concentrazioni misurato rispetto alla media logaritmica. (iv) Effetto di trasporto dovuto ai fenomeni di osmosi. Le costanti che intervengono rappresentano le caratteristiche fisiche e biologiche della membrana. Matematicamente questo problema si configura come sistema di equazioni alle derivate parziali lineari ma con condizioni di flusso di tipo Neumann nonlineari accoppiate. Alcuni risultati A partire da i risulati di un precedente lavoro di Quarteroni et al., dove il modello considerato prevedeva lo scambio regolato da una funzione lineare, abbiamo studiato il problema esposto nel paragrafo precedente. Citiamo in questo riassunto un teorema di esitenza locale per il problema fisico nel teorema 1, una condizione per l'esistenza globale in tempo per il problema generale, una consizione sufficiente per la convergenza di un metodo numerico nel caso di nonlinearità lipschitziana. Teorema 1 Siano gli operatori di diffusione e trasporto compatibili con le condizioni iniziali tra di loro e tali da soddisfare le ipotesi formulate nel pargrafo precedente. Siano, inoltre, i domini opportunamente regolari. Allora il problema ammette almeno una soluzione forte, nel senso che esiste un tempo T ed una coppia di funzioni che risolvono il problema fino a T. La dimostrazione del precedente teorema risiede in una applicazione del teorema di punto fisso di Schauder a partire da una stima a priori della soluzione garantita dalle ipotesi formulate. Nella tesi sono presenti anche una condizione per la convergenza di un metodo iterativo da noi utilizzato per le simulazioni numeriche. La dimostrazione del risultato risiede in una applicazione del teorema di interpolazione-traccia. La stima dei parametri per la convergenza del metodo dipende dalla costante di Lipschitz della funzione nonlineare e dalle costanti del teorema di traccia.