Metodi numerici non lineari di ordine alto per sistemi di equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine di tipo speciale

L'attività di ricerca si colloca nell'ambito dell'Analisi Numerica e, in particolare, riguarda lo studio dei metodi non lineari per la risoluzione numerica delle equazioni differenziali ordinarie. E’ stata affrontata la costruzione di una nuova classe di metodi numerici non lineari a due passi per l'integrazione di sistemi di Equazioni Differenziali Ordinarie (ODEs) del secondo ordine di tipo speciale. In particolare sono stati considerati sistemi del tipo y’’=f(x,y), in cui la funzione f non dipende esplicitamente dalla derivata prima della soluzione. Questi sistemi di ODEs costituiscono un importante e diffuso modello matematico, che nasce spesso nelle applicazioni da problemi di meccanica celeste, sismologia, dinamica molecolare o nella semidiscretizzazione di equazioni a derivate parziali di tipo iperbolico, che hanno quindi grandi dimensioni e stiffness elevata. L'integrazione numerica di tali sistemi è considerato un problema non banale, a causa della grande varietà di situazioni che possono verificarsi (problemi la cui soluzione presenta uno o più frequenze elevate, problemi periodici o quasi periodici, sistemi stiff, etc.), così che la scelta del metodo più efficiente è strettamente dipendente dal problema. Sebbene tali sistemi possano essere ridotti a sistemi del I ordine, è più naturale ed efficiente sviluppare metodi per la loro integrazione diretta. Infatti il sistema trasformato del I ordine ha una dimensione doppia rispetto alla dimensione del sistema originario; inoltre la trasformazione in sistema del I ordine fa comparire esplicitamente la derivata prima della soluzione tra le componenti del vettore delle incognite. C'è da aggiungere che problemi a grandi dimensioni, eventualmente con soluzioni oscillanti o con alte frequenze, per seguire le oscillazioni ed essere accurati, richiedono un piccolo passo di integrazione, con notevole perdita di efficienza. E’ stata introdotta una nuova classe di metodi numerici non lineari a due passi, ovvero i metodi Runge—Kutta—Nyström a due passi, al fine di unire le proprietà dei metodi lineari a più passi con quelle dei metodi Runge—Kutta e ottenere metodi di ordine elevato, senza un eccessivo aggravio della complessità computazionale del metodo. In un primo momento, i coefficienti del metodo sono stati determinati applicando la tecnica della collocazione. Sono stati scelti inizialmente i metodi di collocazione perché per la loro implicitezza e le proprietà di stabilità sono idonei a integrare sistemi stiff, perché per essi è poco costoso l'eventuale cambiamento del passo di integrazione, perché una futura estensione del lavoro di ricerca prevede la possibilità di costruire metodi di collocazione utilizzando basi di funzioni diverse da quella polinomiale, ad esempio esponenziale, trigonometrica o mista, scelte in funzione delle caratteristiche del problema in esame. La collocazione a più passi per le equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine può essere definita in due modi: imponendo le condizioni di interpolazione anche sulla derivata prima, e quindi determinando un'approssimazione della derivata prima, oppure trascurando la derivata prima e interpolando solo sulla soluzione esatta. E’ stato mostrato come sia possibile costruire una nuova classe di metodi generali di collocazione a due passi, che forniscano valori numerici per la soluzione e la sua derivata prima nel punto di rete, e facciano uso anche di valori degli stadi già precedentemente calcolati. Nei metodi Runge--Kutta già compaiono gli stadi numerici, che rappresentano un'approssimazione della soluzione y(xn +cjh). Seguendo un suggerimento fornito in letteratura, opportunamente modificato per il problema in esame e nell'ambito della collocazione, nel calcolare la soluzione numerica yn il metodo numerico introdotto fa uso anche dello stadio Yjn-1, già calcolato nel precedente passo d'integrazione. E’ proprio l'introduzione di questo secondo stadio numerico (da cui la parola generale) che, nell'aumentare il numero dei parametri del metodo, rende possibile anche ottenere ordini alti, senza appesantire eccessivamente la complessità di calcolo. E’ altresì immediatamente evidente, però, che la presenza degli stadi numerici associati al passo precedente introduce un nuovo problema per quanto riguarda i valori di starting del metodo numerico, che riguarderanno adesso non soltanto le approssimazioni dei passi precedenti, come già avveniva per i metodi lineari a due passi, ma anche il calcolo di un buon valore approssimato per Yjn-1 per n=1. La trattazione di questo problema, ancora ad uno stadio iniziale in letteratura, è al momento al di fuori degli scopi della presente attività di ricerca, riguardando la costruzione di opportuni metodi di starting per i metodi generali lineari, che per loro natura sono a più passi e a più stadi. E’ stata invece considerata la sua ricaduta sulla definizione di ordine per il metodo in esame. In questa prima fase dell’attività di ricerca, le condizioni d'ordine della nuova classe di metodi generali di collocazione a due passi sono state studiate mediante il formalismo di Albrecht. Successivamente, la classe dei metodi di collocazione è stata inquadrata nella più generale classe dei metodi Runge—Kutta—Nyström a due passi. In particolare, per determinare le condizioni d'ordine, sono stati utilizzati i potenti strumenti della teoria dei B-Trees, già sviluppata da Butcher per ODE del I ordine. Le condizioni d'ordine di un metodo numerico sono equazioni non lineari aventi come incognite i coefficienti del metodo, definite confrontando lo sviluppo in serie di Taylor della soluzione esatta e della soluzione numerica dell'equazione differenziale; questa procedura coinvolge espressioni strettamente correlate con gli alberi di Butcher. Per le equazioni del II ordine è stato necessario considerare la teoria degli alberi e delle serie di Nyström. E’ stata applicata al nuovo metodo generale lineare a due passi la teoria degli alberi e delle serie di Nyström, opportunamente adattata riguardando il nuovo metodo numerico a due passi come composizione di due metodi RKN ad un passo, ed è stata trovata una condizione sufficiente affinché il metodo abbia ordine p.