Numeri ultrapiccoli: uno spunto di riflessione per l'insegnamento dell'analisi a livello introduttivo e oltre

In letteratura esistono diversi approcci di analisi non standard utili per l'insegnamento. Il presente articolo ha lo scopo di provare a dare risposta alle seguenti questioni: perché utilizzare l'analisi non standard per l'insegnamento? In che senso l’analisi con numeri ultrapiccoli può risultare utile rispetto ad altri approcci? Nonostante l'analisi non standard preveda l'utilizzo di formule a carattere maggiormente intuitivo, talvolta nella sua applicazione si incappa in alcune difficoltà. In effetti una delle ragioni per cui nel corso degli anni non si è fatto uso di un tale approccio sono proprio le difficoltà che si incontrano, ad esempio, nel caso di teorie dove sono presenti due livelli. Il fatto che valori standard e non standard vi si comportino in modo diverso rende particolarmente delicate alcune dimostrazioni come, ad esempio, la continuità di una funzione in punti non standard. In aggiunta, questo approccio prevede di norma l'utilizzo dei cosiddetti "enunciati esterni" che possono richiedere una logica molto sofisticata. L'idea dell'analisi con numeri ultrapiccoli è stata sviluppata proprio allo scopo di provare a superare questi problemi, rendendola più fruibile da un punto di vista didattico.